Aleksandr Vlasov a été sélectionné dans l'équipe nationale russe de cyclisme sur route junior en 2014, à l'âge de 18 ans. Il a obtenu son premier contrat professionnel avec Gazprom-RusVelo pour la saison 2018. En 2019, il a remporté le titre de champion de Russie de course sur route. La même année, il a remporté une étape du Tour d'Autriche. Après son passage chez Astana, Vlasov a remporté deux courses d'un jour importantes en 2020, le Mont Ventoux Challenge et le Giro dell'Emilia. L'année suivante, Vlasov est à nouveau devenu champion de Russie, cette fois-ci dans le contre-la-montre individuel.
En 2022, Vlasov a rejoint Bora-Hansgrohe et a également remporté cette année-là sa première course de l'UCI World Tour lors du Tour de Romandie. Il a également remporté le classement général et une étape du Tour de Valence ainsi qu'une étape du Tour de Suisse.
Le meilleur classement d'Aleksandr Vlasov dans un Grand Tour a été une quatrième place au Giro d'Italia en 2021. En 2022, il a terminé cinquième au Tour de France. Lors de la Vuelta a Espana, Vlasov s'est classé 11e en 2020.